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日志

 
 

poj1113 Wall 凸包问题 官方数据  

2011-02-24 20:02:24|  分类: 计算几何 |  标签: |举报 |字号 订阅

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http://poj.org/problem?id=1113

题意:给定n个点,建一个围墙,围住所有点,并且墙与所有点的距离不得小于L,求这个墙最小的长度。

解题:凸包边长+L半径圆周长

copy一个证明:http://blog.sina.com.cn/s/blog_687916bf0100jq9g.html

证明如下:假如顺时针给出四个点A、B、C、D。组成了凸四边形ABCD。我们不妨过A点作AE垂直于AB,同时过A点再作AF垂直于AD,过B点作BG、BH分别垂直于AB、BC。连结EG,垂线段的长度为L,过A点以AE为半径作一段弧连到AF,同理,使GH成为一段弧。此时EG=AB(边),AB段城墙的最小值为EF+弧EF+弧GH=AB+弧EF+弧GH
。对所有点进行同样的操作后,可知城墙的最小值=四边形的周长+相应顶点的弧长(半径都为L)之和。
下面证明这些顶点弧长组成一个圆。依然以前面的四边形为例。A、B、C、D四顶点各成周角,总和为360*4=1440度,四边形内角和为360度,每个顶点作两条垂线,总角度为4*2*90=720度,所以总圆周角为1440-360-720=360度,刚好组成圆。
所以四边形ABCD的围墙最短= 四边形的周长+圆周长。
推广到任意多边形,用同样的方法,城墙最短=凸包的周长 + 以L为半径的圆的周长。
首先,我们得出城墙最短=凸包的周长 + 相应顶点的弧长(半径都为L)之和。
再证明 相应顶点的弧长(半径都为L)之和=以L为半径的圆的周长。
事实上,设凸包顶点为n,n个顶点组成n个周角,角度为360*n=2*180*n,凸包的内角和为180*(n-2),作了2*n条垂线,和为2*n*90=180*n,所以总圆周角为2*180*n-180*(n-2)-180*n=360,组成圆。
in

3 100
0 0
0 3000
4000 0

out

12628

in

4 1000
10000 10000
10000 -10000
-10000 -10000
-10000 10000

out

86283

in

4 1
10000 -10000
-10000 -10000
-10000 10000
10000 10000

out

80006

in

17 2
5 3
6 2
5 1
4 0
2 1
1 1
2 0
0 0
0 2
1 3
2 4
1 2
2 2
3 3
4 2
5 2
4 4

out

29

in

1000 1000
-8488 5287
-8455 5340
-8421 5393
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-22 10000
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9290 3701
9313 3643
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9358 3526
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9464 3230
9484 3170
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9853 1710
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9873 1586
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9994 336
9996 273
9998 210
9999 147
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10000 22
10000 -41
9999 -104
9999 -167
9997 -230
9996 -292
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6861 -7275
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6723 -7403
6676 -7445
6629 -7487
6582 -7528
6535 -7569
6487 -7610
6439 -7651
6391 -7691
6343 -7731
6294 -7771
6245 -7810
6196 -7849
6146 -7888
6097 -7927
6047 -7965
5996 -8003
5946 -8040
5895 -8077
5845 -8114
5793 -8151
5742 -8187
5691 -8223
5639 -8259
5587 -8294
5535 -8329
5482 -8363
5429 -8398
5377 -8432
5324 -8465
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5217 -8531
5163 -8564
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4671 -8842
4615 -8871
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4277 -9039
4221 -9066
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-8521 5233

out

69116

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define maxn 1001
struct p{
    double x,y;
}list[maxn],s[maxn];
int n,top;
double m(p p1,p p2,p p0){
    return (p1.x-p0.x)*(p2.y-p0.y)-(p2.x-p0.x)*(p1.y-p0.y);
}
bool cmp(p p1,p p2){
    double t;
    t=m(p1,p2,list[0]);
    if(t>0||(t==0&&pow(p1.x-list[0].x,2)+pow(p1.y-list[0].y,2)<pow(p2.x-list[0].x,2)+pow(p2.y-list[0].y,2)))
        return 1;
    else return 0;
}
void  Graham()
{
    int i;
    sort(list+1,list+n,cmp);
    for(i=0;i<3;i++)s[i]=list[i];
    top=2;
    for(i=3;i<n;i++){
        while(top>0&&(m(list[i],s[top],s[top-1])>=0))top--;
        s[++top]=list[i];
    }
}    
int main()
{
    int i,r,cas;
    p t;
    while(scanf("%d%d",&n,&r)!=EOF)
    {
        
        for(i=0;i<n;i++){
            scanf("%lf%lf",&list[i].x,&list[i].y);
            if((list[i].y<list[0].y)||(list[i].y==list[0].y&&list[i].x<list[0].x)){
                t=list[0];
                list[0]=list[i];
                list[i]=t;
            }
        }
        Graham();
        double ans=0;
        for(i=1;i<=top;i++)
            ans+=sqrt((s[i-1].x-s[i].x)*(s[i-1].x-s[i].x)+(s[i-1].y-s[i].y)*(s[i-1].y-s[i].y));
        ans+=sqrt((s[i-1].x-s[0].x)*(s[i-1].x-s[0].x)+(s[i-1].y-s[0].y)*(s[i-1].y-s[0].y));
        printf("%d\n",int(ans+2*r*3.141592653589+0.5));
    }
    return 0;
}
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