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日志

 
 

ACM计算几何题目推荐 (第一期)  

2011-04-14 09:33:53|  分类: 计算几何 |  标签: |举报 |字号 订阅

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转自http://hi.baidu.com/novosbirsk/blog/item/723a9727a9ab8804918f9dca.html

其实也谈不上推荐,只是自己做过的题目而已,甚至有的题目尚未AC,让在挣扎中。之所以推荐计算几何题,是因为,本人感觉ACM各种算法中计算几何算是比较实际的算法,在很多领域有着重要的用途(例如本人的专业,GIS)。以后若有机会,我会补充、完善这个列表。

计算几何题的特点与做题要领:
1.大部分不会很难,少部分题目思路很巧妙
2.做计算几何题目,模板很重要,模板必须高度可靠。
3.要注意代码的组织,因为计算几何的题目很容易上两百行代码,里面大部分是模板。如果代码一片混乱,那么会严重影响做题正确率。
4.注意精度控制。
5.能用整数的地方尽量用整数,要想到扩大数据的方法(扩大一倍,或扩大sqrt2)。因为整数不用考虑浮点误差,而且运算比浮点快。

一。点,线,面,形基本关系,点积叉积的理解

POJ 2318 TOYS(推荐)
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2318
POJ 2398 Toy Storage(推荐)
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2398
一个矩形,有被若干直线分成N个格子,给出一个点的坐标,问你该点位于哪个点中。
知识点:其实就是点在凸四边形内的判断,若利用叉积的性质,可以二分求解。

POJ 3304 Segments
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3304
知识点:线段与直线相交,注意枚举时重合点的处理

POJ 1269 Intersecting Lines
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1269
知识点:直线相交判断,求相交交点

POJ 1556 The Doors (推荐)
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1556
知识点:简单图论+简单计算几何,先求线段相交,然后再用Dij求最短路。

POJ 2653 Pick-up sticks
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2653
知识点:还是线段相交判断

POJ 1066 Treasure Hunt
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1066
知识点:线段相交判断,不过必须先理解“走最少的门”是怎么一回事。

POJ 1410 Intersection
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1410
知识点:线段与矩形相交。正确理解题意中相交的定义。
详见:http://hi.baidu.com/novosbirsk/blog/item/68c682c67e8d1f1d9d163df0.html

POJ 1696 Space Ant (推荐)
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1696
德黑兰赛区的好题目。需要理解点积叉积的性质

POJ 3347 Kadj Squares
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3347
本人的方法极度猥琐。复杂的线段相交问题。这个题目是计算几何的扩大数据运算的典型应用,扩大根号2倍之后就避免了小数。

POJ 2826 An Easy Problem?! (推荐)
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2826
问:两条直线组成一个图形,能容纳多少雨水。很不简单的Easy Problem,要考虑所有情况。你不看discuss看看能否AC。(本人基本不能)提示一下,水是从天空垂直落下的。

POJ 1039 Pipe
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1039
又是线段与直线相交的判断,再加上枚举的思想即可。

POJ 3449 Geometric Shapes
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3449
判断几何体是否相交,不过输入输出很恶心。
此外,还有一个知识点,就是给出一个正方形(边不与轴平行)的两个对角线上的顶点,需要你求出另外两个点。必须掌握其方法。

POJ 1584 A Round Peg in a Ground Hole
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1584
知识点:点到直线距离,圆与多边形相交,多边形是否为凸

POJ 2074 Line of Sight (推荐)
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2074
与视线问题的解法,关键是求过两点的直线方程,以及直线与线段的交点。数据有一个trick,要小心。

二。凸包问题

POJ 1113 Wall
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1113
知识点:赤裸裸的凸包问题,凸包周长加上圆周。

POJ 2007 Scrambled Polygon
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2007
知识点:凸包,按极角序输出方案

POJ 1873 The Fortified Forest (推荐)
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1873
World Final的水题,先求凸包,然后再搜索。由于规模不大,可以使用位运算枚举。
详见:http://hi.baidu.com/novosbirsk/blog/item/333abd54c7f22c52574e0067.html

POJ 1228 Grandpa's Estate (推荐)
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1228
求凸包顶点数目,很多人求凸包的模板是会多出点的,虽然求面积时能得到正确答案,但是在这个题目就会出问题。此外,还要正确理解凸包的性质。

POJ 3348 Cows
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3348
凸包面积计算

三。面积问题,公式问题

POJ 1654 Area
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1654
知识点:利用有向面积(叉积)计算多边形面积

POJ 1265 Area
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1265
POJ 2954 Triangle
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2954
Pick公式的应用,多边形与整点的关系。(存在一个GCD的关系)

四。半平面交

半平面交的主要应用是判断多边形是否存在核,还可以解决一些与线性方程组可行区域相关的问题(就是高中时的那些)。

POJ 3335 Rotating Scoreboard
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3335
POJ 3130 How I Mathematician Wonder What You Are!
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3130
POJ 1474 Video Surveillance
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1474
知识点:半平面交求多边形的核,存在性判断

POJ 1279 Art Gallery
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1279
半平面交求多边形的核,求核的面积

POJ 3525 Most Distant Point from the Sea (推荐)
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3525
给出一个多边形,求里面的一个点,其距离离多边形的边界最远,也就是多边形中最大半径圆。
可以使用半平面交+二分法解。二分这个距离,边向内逼近,直到达到精度。


POJ 3384 Feng Shui (推荐)
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3384
半平面交实际应用,用两个圆覆盖一个多边形,问最多能覆盖多边形的面积。
解法:用半平面交将多边形的每条边一起向“内”推进R,得到新的多边形,然后求多边形的最远两点。


POJ 1755 Triathlon (推荐)
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1755
半平面交判断不等式是否有解。注意不等式在转化时正负号的选择,这直接影响到半平面交的方向。

POJ 2540 Hotter Colder
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2540
半平面交求线性规划可行区域的面积。

POJ 2451 Uyuw's Concert
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2451
Zzy专为他那篇nlogn算法解决半平面交问题的论文而出的题目。

五。计算几何背景,实际上解题的关键是其他问题(数据结构、组合数学,或者是枚举思想)
若干道经典的离散化+扫描线的题目,ACM选手必做题目

POJ 1151 Atlantis (推荐)
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1151
POJ 1389 Area of Simple Polygons
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1389
矩形离散化,线段树处理,矩形面积求交

POJ 1177 Picture (推荐)
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1177
矩形离散化,线段树处理,矩形交的周长,这个题目的数据比较强。线段树必须高效。

POJ 3565 Ants (推荐)
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3565
计算几何中的调整思想,有点像排序。要用到线段相交的判断。
详见:http://hi.baidu.com/novosbirsk/blog/item/fb668cf0f362bec47931aae2.html


POJ 3695 Rectangles   
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3695
又是矩形交的面积,但是由于是多次查询,而且矩形不多,使用组合数学中的容斥原理解决之最适合。线段树是通法,但是除了线段树,还有其他可行的方法。

POJ 2002 Squares   
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2002
枚举思想,求平面上若干个点最多能组成多少个正方形,点的Hash

POJ 1434 Fill the Cisterns!(推荐)
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1434
一开始发昏了,准备弄个线段树。其实只是个简单的二分。


六。随机算法
POJ 2420 A Star not a Tree?
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2420
多边形的费马点。所谓费马点,就是多边形中一个点P,该点到其他点的距离之和最短。四边形以上的多边形没有公式求费马点,因此可以使用随机化变步长贪心法。
详见:http://hi.baidu.com/novosbirsk/blog/item/75983f138499f825dd54019b.html

七。解析几何
这种题目本人不擅长,所以做得不多,模板很重要。当然,熟练运用叉积、点积的性质还是很有用的。
POJ 1375 Intervals
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1375
知识点:过圆外一点求与圆的切线

POJ 1329 Circle Through Three Points   
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1329
求三角形外接圆

POJ 2354 Titanic
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2354
求球面上两个点的距离,而且给的是地理经纬坐标。

POJ 1106 Transmitters
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1106
角度排序,知道斜率求角度,使用atan函数。

POJ 1673 EXOCENTER OF A TRIANGLE
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1673
可以转化为三角形的垂心问题。

八。旋转卡壳

POJ 2187 Beauty Contest
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2187
凸包求最远点对。可以暴力枚举,也可以使用旋转卡壳。

POJ 3608 Bridge Across Islands(难)
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3608
两个凸包的最近距离。本人的卡壳始终WA。郁闷。

九。其他问题
POJ 1981 Circle and Points
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1981
求单位圆最多能覆盖平面上多少个点


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